(来自质数) 设 $ \mathbf V=\Bbb F_{n\times n}$ 是域 $\Bbb F$ 上所有 $n$ 阶矩阵组成的向量空间 (这里$\Bbb F=\Bbb R$ 或者 $ \Bbb C$). 证明所有形如 $MN-NM$ 的矩阵形成一个线性空间.

 

(来自 质数) 这是一个经典的结果,1936年 Shoda 首先对特征为 0 的域证明了每个迹为 0 的矩阵都是换位元素(commutator),1957 年Albert 和 B. Muckenhoupt 推广到所有的域.

关于这个话题,多年以来,也一直是研究的热门. 在主理想整环 的企图,长期停滞不前,直到 2012 年才被 Stasinski 搞定,尽管1994 年 Laffey 和 Reams 证明了在整数环的版本.

最新的故事,是几个月前, 在 hyperplane 也证明了有这个结果.

 

(来自chxp1234)